Väitös: Inversio-ongelmia ja minimipintoja (Nurminen)

Voidaanko pinta-alaa minimoivan pinnan geometriasta saada tietoa tekemällä mittauksia vain pinnan reunalla, näkemättä ollenkaan itse pinnalle? Janne Nurmisen väitöskirjassa etsitään vastauksia tämän kaltaisiin kysymyksiin, joita kutsutaan inversio-ongelmiksi. Laajemmin väitöskirjassa tutkitaan kuvaillun kaltaisia inversio-ongelmia niin sanotuille epälineaarisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille.

Vuonna 1980 kuuluisa matemaatikko Alberto Calderón esitti kysymyksen, että voidaanko kappaleen johtavuudesta saada tietoa tekemällä sähköisiä mittauksia kappaleen pinnalla. Tätä menetelmää voitaisiin soveltaa muun muassa lääketieteellisessä kuvantamisessa tai öljyn etsinnässä. Sama kysymys voitaisiin esittää eri tilanteissa kuten yllä mainitussa ongelmassa: voidaanko pinta-alaa minimoivan pinnan geometriasta saada tietoa suorittamalla mittauksia vain pinnan reunalla.

”Tällä hetkellä tulokset ovat alustavia, sillä minimipintoihin liittyvät inversio-ongelmat ovat suhteellisen tuoreita. Itse asiassa väitöskirjassani esittelen yksiä ensimmäisiä tuloksia aiheesta.” Janne Nurminen kertoo.

Inversio-ongelman ratkaiseminen

Ennen kuin päästään käsiksi itse inversio-ongelmaan, tulisi selvittää onko niin sanottu suora ongelma ratkaistavissa eli löytyykö yksikäsitteistä ratkaisua kyseessä olevalle osittaisdifferentiaaliyhtälölle. Tämä on tärkeä osa väitöskirjan työtä.

”Koska kyseessä on epälineaarinen yhtälö, niin tämä suora ongelma vaatii jonkin verran työtä. Mutta viime aikoina on keksitty tekniikka juuri näiden epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.” Nurminen sanoo.

Väitöskirjassaan Nurminen todistaa, että geometriasta minimipinnan sisällä saadaan tietoa reunamittauksien avulla, mikäli geometria on riittävän yksinkertaista. Toisin sanoen geometrian tulee olla riittävän sileää ja se ei saa erota euklidisesta geometriasta liian paljoa.

”Tämän ongelman lisäksi tutkin väitöskirjassani myös muita epälineaarisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin liittyviä inversio-ongelmia. Näissä kaikissa tutkimissani ongelmissa on hyötyä käyttää niin sanottua korkeamman asteen linearisoinnin tekniikkaa. Juuri tämä tekniikka on saanut viime aikoina huomattavan paljon sovelluksia ja inversio-ongelmat epälineaarisille yhtälöille ovat tällä hetkellä kansainvälisesti aktiivinen tutkimusala”, Nurminen toteaa.

Janne Nurmisen väitöskirjan “Inverse problems for the minimal surface equation and semilinear elliptic partial differential equations” tarkastustilaisuus pidetään 14.6.2024 klo 12:00 MaD259 Mattilanniemessä. Vastaväittäjänä toimii professori Yavar Kian (University of Rouen Normandy, Ranska) ja kustoksena professori Mikko Salo (Jyväskylän yliopisto).  Väitöstilaisuuden kieli on englanti.

Väitöskirja on julkaistu JYU Dissertations väitöstutkimusten sarjassa numero 780, Jyväskylän yliopisto, Jyväskylä, 2024: https://urn.fi/URN:ISBN:978-952-86-0159-3