Väitös 13.5.2022: Työkaluja kaksiulotteisten pintojen uniformisaatio-ongelmiin (Ikonen)

Esimerkkejä epäsileistä pinnoista ovat maapallon pinta, kuution reuna tai kartion reuna. Näille esimerkeille on yhteistä se, että niissä on tapa mitata paikkojen välisiä etäisyyksiä sekä kappaleiden pinta-aloja. Kaksiulotteisessa geometriassa on keskeistä myös huomattavasti monimutkaisempien esimerkkien tutkiminen. 

Uniformisaatio-ongelmissa perustavanlaatuinen kysymys on löytää riittäviä ja välttämättömiä ehtoja, jotta epäsileältä pinnalta on kartta jollekin tasaiselle pinnalle. Tavoitteena on löytää kartta, joka vääristää annetun pinnan geometriaa mahdollisimman vähän. Väitöskirjassa tutkitut kvasikonformikartat voivat vääristää pinta-aloja ja etäisyyksiä merkittävästi, mutta kappaleiden muodot ja paikkojen väliset kulmat vääristyvät kontrolloidusti. 

”Eräs esimerkki kvasikonformikartasta on maapallon Mercatorin karttaprojektio. Kyseisessä kartassa Grönlanti ja Afrikka näyttävät samankokoisilta, vaikka todellisuudessa Afrikan pinta-ala on noin viisitoista kertaa suurempi. Kuitenkin kartan avulla laivan navigaattori pystyy valitsemaan oikean suunnan, jotta Lontoosta päästään laivalla New Yorkiin, Reykjavíkin tai Oslon sijaan”, Ikonen havainnollistaa. 

Uniformisaatio-ongelmaan liittyy annetun epäsileän pinnan kartaston olemassaolon tutkiminen. Kartasto tarkoittaa kokoelmaa karttoja, joista yksittäiset kartat muuntavat vain pieniä palasia pinnasta. Kartaston olemassaolo on helpompi varmistaa, eikä aina ole selvää, onko koko pinnan karttaa edes olemassa. Väitöskirjan kannalta tärkeitä ovat kvasikonformikartastot — kartastot, joissa jokainen kartta on kvasikonformaalinen. 

Yksi väitöskirjan keskeisistä saavutuksista on eräiden klassisessa kompleksianalyysissä tärkeiden ongelmien kytkeminen kvasikonformikartaston olemassaoloon. Lisäksi väitöskirjan merkittävä saavutus on osoitus siitä, että koko pinnan kvasikonformikartan olemassaolo seuraa mainitun kartaston olemassaolosta. 

Väitöskirja on julkaistu Jyväskylän yliopiston väitöstutkimusten JYU Dissertations-sarjassa, numero 508, Jyväskylä 2022. ISBN 978-951-39-9114-2 (PDF), ISSN 2489-9003. Linkki verkkojulkaisuun: http://urn.fi/URN:ISBN:978-951-39-9114-2

FM Toni Ikosen matematiikan väitöskirjan ”Quasiconformal uniformization of metric surfaces" tarkastustilaisuus on perjantaina 13.5.2022 klo 12 Ylistönrinteen salissa KEM1. Vastaväittäjänä toimii dosentti Rami Luisto (Digital Workforce Services, Suomi) ja kustoksena professori Kai Rajala (Jyväskylän yliopisto). Väitöstilaisuuden kieli on englanti.