Väitös: Uusia säännöllisyystuloksia epälineaariselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle (Kurkinen)
Differentiaaliyhtälön ratkaisu on numeron sijasta funktio, joten on mielekästä kysyä mitä voimme tietää tämän funktion käyttäytymisestä tarkastelujoukossa. Jyväskylän yliopiston matematiikan alan väitöskirja antaa vastauksia tähän teoreettiseen kysymykseen.

Jyväskylän yliopiston juuri valmistuneessa väitöskirjassa on tutkittu epälineaarista ajasta ja paikasta riippuvaa osittaisdifferentiaaliyhtälöä, jonka erikoistapauksena saadaan muun muassa paljon tutkitut p-parabolinen yhtälö, lämpöyhtälö ja normalisoitu p-parabolinen yhtälö. Näistä lämpöyhtälö kuvaa lämpöenergian johtumista aineessa ja viimeksi mainitulla yhtälöllä on sovelluksia koneoppimisessa, kuvankäsittelyssä ja optionhinnoittelussa.
- Väitöskirjassa tutkittavan yhtälön ja divergenssimuotoisen p-parabolisen yhtälön radiaalisten ratkaisujen välillä on linkki, jota käyttämällä saamme työkaluja käyttöön tunnetusta teoriasta tälle vähemmän tunnetulle yleisemmälle yhtälölle, kertoo väitöskirjatutkija Tapio Kurkinen Jyväskylän yliopistosta.
Keskeisenä tuloksena Elliptinen Harnackin epäyhtälö
Alkuperäinen Harnackin epäyhtälö on vuonna 1887 C. G. Axel Harnackin todistama tulos, joka antaa meille informaatiota Laplacen yhtälön ratkaisun käytöksestä tarkastelujoukon sisällä. Epäyhtälön perusteella minkä tahansa positiivisen ratkaisun suurin saavuttama arvo pallossa on pienempää kuin pienin arvo kerrottuna tilanteesta riippumattomalla vakiolla. Harnackin epäyhtälöitä on vuosien saatossa todistettu eri muodoissa eri yhtälöille. Lämpöyhtälön ratkaisut riippuvat paikan lisäksi ajasta ja osoittautuu, että Harnackin epäyhtälö on totta ainoastaan, jos vertaamme suurinta ja pienintä arvoa niin sanotun odotusajan päässä toisistaan aikasuunnassa.
- Työssä tutkitulle osittaisdifferentiaaliyhtälölle epäyhtälö saa tuon saman muodon, paitsi odotusajan pituuden täytyy riippua ratkaisun saavuttamasta arvosta tarkastelupisteessä. Todistimme myös, että sopivan kokoisille eksponenteille tämä odotusaika on mahdollista jättää pois ja saadaan niin sanottu elliptinen Harnackin epäyhtälö, selventää Kurkinen.
Säännöllisyys joukon reunalla
Reuna-arvosäännöllisyyden teoriassa pyritään selvittämään ehtoja joukon muodolle, jolle osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisut saavuttavat annetut reuna-arvot jatkuvasti. Tämä osoittautuu hankalaksi ongelmaksi ajasta riippuville yhtälöille, ja jopa p-paraboliselle yhtälölle on monia avoimia kysymyksiä.
- Väitöskirjassani todistetaan, että tietyt ehdot toteuttavan funktioperheen olemassaolo on riittävä ehto takaamaan reunapisteen säännöllisyys ja tätä kautta voidaan todistaa käytännöllisempiä geometrisia ehtoja. Näitä on muun muassa ulkopalloehto, jonka perusteella reunapiste on säännöllinen, jos sitä on mahdollista koskea jonkin kokoisella pallolla joukon ulkopuolelta käyttämättä pallon pohjois- tai etelänapaa aikasuunnassa, kertoo Kurkinen.
Tapio Kurkisen väitöskirjan “Harnack's inequalities and boundary regularity for a general nonlinear parabolic equation in non-divergence form” tarkastustilaisuus perjantaina 16.8.2024 klo 12:00 alkaen Mattilanniemen salissa MaA211. Vastaväittäjänä toimii Associate Professor Benny Avelin (Uppsala University, Ruotsi) ja kustoksena apulaisprofessori Mikko Parviainen (Jyväskylän yliopisto). Väitöstilaisuuden kieli on englanti.
Väitöskirja ”Harnack's inequalities and boundary regularity for a general nonlinear parabolic equation in non-divergence form” on luettavissa JYX-julkaisuarkistossa: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/96257
Avainsanat
Yhteyshenkilöt
Väitöskirjatutkija Tapio Kurkinen, tapio.j.kurkinen@jyu.fi
Elina LeskinenViestinnän asiantuntija
Puh:+358 50 461 7880elina.leskinen@jyu.fiKuvat

Jyväskylän keskustassa sijaitsevan yliopiston kauniilla puistokampuksella sykkii monitieteinen ja moderni tiedeyliopisto – ihmisläheinen ja dynaaminen yhteisö, jonka 2500 asiantuntijaa ja 15 000 opiskelijaa etsivät ja löytävät vastauksia huomisen kysymyksiin. Jyväskylän yliopisto on ollut tulevaisuuden palveluksessa jo vuodesta 1863, jolloin suomenkielinen opettajankoulutus sai alkunsa täältä. Voimanlähteenämme on moniarvoinen vuoropuhelu tutkimuksen, koulutuksen ja yhteiskunnan välillä. Vaalimme tutkimuksen ja koulutuksen tasapainoa sekä ajattelun avoimuutta – sytytämme taidon, tiedon ja intohimon elää viisaasti ihmiskunnan parhaaksi. www.jyu.fi
Tilaa tiedotteet sähköpostiisi
Haluatko tietää asioista ensimmäisten joukossa? Kun tilaat tiedotteemme, saat ne sähköpostiisi välittömästi julkaisuhetkellä. Tilauksen voit halutessasi perua milloin tahansa.
Lue lisää julkaisijalta Jyväskylän yliopisto
Väitöstutkimuksen mukaan humanitaarisen avun kestävyys edellyttää paikallisten organisaatioiden vahvistamista2.4.2025 08:01:00 EEST | Tiedote
Humanitaarisen avun lokalisaation tavoitteena on vahvistaa paikallisia organisaatioita, ja siirtää heille avustustoimien resurssit ja johtajuus. Samalla lokalisaatio edistää avun pitkän aikavälin kestävyyttä. Usein julkilausutut lokalisaatiotavoitteet eivät kuitenkaan toteutudu, kun ulkopuoliset kansainväliset toimijat jatkavat lokalisaation johtamista. Väitöskirjatutkimuksessaan Abdul Kadir Khan tarkastelee tätä dynamiikkaa analysoiden kriittisesti Bangladeshin Cox’s Bazarissa rohingya-avustustyöhön osallistuvien organisaatioiden näkökulmia.
Muuttolintujen kevät innoittaa luonnonystäviä 8.4. – mukana tapahtumassa myös Mikko ”Peltsi” Peltola2.4.2025 08:00:00 EEST | Tiedote
Kansalaistieteen Lähde: Muuttolintujen kevät -tapahtuma ti 8.4.2025 klo 12–19, yliopiston kirjasto Lähde
Keski-Suomen korkeakouluviikko: Tulevan opintopolun suunta voi löytyä opiskellen1.4.2025 12:03:00 EEST | Tiedote
Keski-Suomen toisen asteen oppilaitoksissa opiskellaan 7.–11.4.2025 korkeakouluopintoja. Korkeakouluviikko mahdollistaa tutustumisen korkeakouluopiskeluun ja kiinnostaviin aloihin osana toisen asteen opintoja. Tavoitteena on uuden oppimisen lisäksi tukea opiskelijoita oman opintopolun suunnittelua ja madaltaa kynnystä korkeakouluun hakeutumisessa.
Korona-aika auttoi toisia esikoisperheitä kukoistamaan, samalla se lannisti toiset, tutkimus kertoo1.4.2025 07:00:00 EEST | Tiedote
Tuoreessa tutkimuksessa selvitettiin, kuinka osa esikoislapsensa koronarajoitusten aikaan saaneista perheistä löysi selviytymiskykyisyytensä ja sopeutui vallitseviin olosuhteisiin, samalla kun osa perheistä kertoi jääneensä kasaantuvien stressitekijöiden alle – pahimmillaan ilman tukea.
Jyväskylän yliopiston tilinpäätös 2024: Tutkimuksessa ja koulutuksessa menestystä, taloudessa käänne parempaan31.3.2025 09:30:00 EEST | Tiedote
Vuosi 2024 oli tutkimuksen ja koulutuksen osalta menestyksekäs. Vertaisarvioitujen julkaisujen määrä jatkoi kasvua. Myös kilpaillussa tutkimusrahoituksessa vuosi oli tuloksekas. Euroopan tutkimusneuvosto myönsi yliopistoon tieteellisiä läpimurtoja tavoittelevalle kokeneelle tutkijalle tarkoitetun ERC Advanced Grant -hankerahoituksen.
Uutishuoneessa voit lukea tiedotteitamme ja muuta julkaisemaamme materiaalia. Löydät sieltä niin yhteyshenkilöidemme tiedot kuin vapaasti julkaistavissa olevia kuvia ja videoita. Uutishuoneessa voit nähdä myös sosiaalisen median sisältöjä. Kaikki tiedotepalvelussa julkaistu materiaali on vapaasti median käytettävissä.
Tutustu uutishuoneeseemme