Väitös: Uusia säännöllisyystuloksia epälineaariselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle (Kurkinen)
Differentiaaliyhtälön ratkaisu on numeron sijasta funktio, joten on mielekästä kysyä mitä voimme tietää tämän funktion käyttäytymisestä tarkastelujoukossa. Jyväskylän yliopiston matematiikan alan väitöskirja antaa vastauksia tähän teoreettiseen kysymykseen.

Jyväskylän yliopiston juuri valmistuneessa väitöskirjassa on tutkittu epälineaarista ajasta ja paikasta riippuvaa osittaisdifferentiaaliyhtälöä, jonka erikoistapauksena saadaan muun muassa paljon tutkitut p-parabolinen yhtälö, lämpöyhtälö ja normalisoitu p-parabolinen yhtälö. Näistä lämpöyhtälö kuvaa lämpöenergian johtumista aineessa ja viimeksi mainitulla yhtälöllä on sovelluksia koneoppimisessa, kuvankäsittelyssä ja optionhinnoittelussa.
- Väitöskirjassa tutkittavan yhtälön ja divergenssimuotoisen p-parabolisen yhtälön radiaalisten ratkaisujen välillä on linkki, jota käyttämällä saamme työkaluja käyttöön tunnetusta teoriasta tälle vähemmän tunnetulle yleisemmälle yhtälölle, kertoo väitöskirjatutkija Tapio Kurkinen Jyväskylän yliopistosta.
Keskeisenä tuloksena Elliptinen Harnackin epäyhtälö
Alkuperäinen Harnackin epäyhtälö on vuonna 1887 C. G. Axel Harnackin todistama tulos, joka antaa meille informaatiota Laplacen yhtälön ratkaisun käytöksestä tarkastelujoukon sisällä. Epäyhtälön perusteella minkä tahansa positiivisen ratkaisun suurin saavuttama arvo pallossa on pienempää kuin pienin arvo kerrottuna tilanteesta riippumattomalla vakiolla. Harnackin epäyhtälöitä on vuosien saatossa todistettu eri muodoissa eri yhtälöille. Lämpöyhtälön ratkaisut riippuvat paikan lisäksi ajasta ja osoittautuu, että Harnackin epäyhtälö on totta ainoastaan, jos vertaamme suurinta ja pienintä arvoa niin sanotun odotusajan päässä toisistaan aikasuunnassa.
- Työssä tutkitulle osittaisdifferentiaaliyhtälölle epäyhtälö saa tuon saman muodon, paitsi odotusajan pituuden täytyy riippua ratkaisun saavuttamasta arvosta tarkastelupisteessä. Todistimme myös, että sopivan kokoisille eksponenteille tämä odotusaika on mahdollista jättää pois ja saadaan niin sanottu elliptinen Harnackin epäyhtälö, selventää Kurkinen.
Säännöllisyys joukon reunalla
Reuna-arvosäännöllisyyden teoriassa pyritään selvittämään ehtoja joukon muodolle, jolle osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisut saavuttavat annetut reuna-arvot jatkuvasti. Tämä osoittautuu hankalaksi ongelmaksi ajasta riippuville yhtälöille, ja jopa p-paraboliselle yhtälölle on monia avoimia kysymyksiä.
- Väitöskirjassani todistetaan, että tietyt ehdot toteuttavan funktioperheen olemassaolo on riittävä ehto takaamaan reunapisteen säännöllisyys ja tätä kautta voidaan todistaa käytännöllisempiä geometrisia ehtoja. Näitä on muun muassa ulkopalloehto, jonka perusteella reunapiste on säännöllinen, jos sitä on mahdollista koskea jonkin kokoisella pallolla joukon ulkopuolelta käyttämättä pallon pohjois- tai etelänapaa aikasuunnassa, kertoo Kurkinen.
Tapio Kurkisen väitöskirjan “Harnack's inequalities and boundary regularity for a general nonlinear parabolic equation in non-divergence form” tarkastustilaisuus perjantaina 16.8.2024 klo 12:00 alkaen Mattilanniemen salissa MaA211. Vastaväittäjänä toimii Associate Professor Benny Avelin (Uppsala University, Ruotsi) ja kustoksena apulaisprofessori Mikko Parviainen (Jyväskylän yliopisto). Väitöstilaisuuden kieli on englanti.
Väitöskirja ”Harnack's inequalities and boundary regularity for a general nonlinear parabolic equation in non-divergence form” on luettavissa JYX-julkaisuarkistossa: https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/96257
Avainsanat
Yhteyshenkilöt
Väitöskirjatutkija Tapio Kurkinen, tapio.j.kurkinen@jyu.fi
Elina LeskinenViestinnän asiantuntija
Puh:+358 50 461 7880elina.leskinen@jyu.fiKuvat

Jyväskylän keskustassa sijaitsevan yliopiston kauniilla puistokampuksella sykkii monitieteinen ja moderni tiedeyliopisto – ihmisläheinen ja dynaaminen yhteisö, jonka 2500 asiantuntijaa ja 15 000 opiskelijaa etsivät ja löytävät vastauksia huomisen kysymyksiin. Jyväskylän yliopisto on ollut tulevaisuuden palveluksessa jo vuodesta 1863, jolloin suomenkielinen opettajankoulutus sai alkunsa täältä. Voimanlähteenämme on moniarvoinen vuoropuhelu tutkimuksen, koulutuksen ja yhteiskunnan välillä. Vaalimme tutkimuksen ja koulutuksen tasapainoa sekä ajattelun avoimuutta – sytytämme taidon, tiedon ja intohimon elää viisaasti ihmiskunnan parhaaksi. www.jyu.fi
Tilaa tiedotteet sähköpostiisi
Haluatko tietää asioista ensimmäisten joukossa? Kun tilaat tiedotteemme, saat ne sähköpostiisi välittömästi julkaisuhetkellä. Tilauksen voit halutessasi perua milloin tahansa.
Lue lisää julkaisijalta Jyväskylän yliopisto
Väitöstutkimus paljastaa Raamatun kymmenen käskyn roolin yhteiskunnan muodostumisessa klassikkoteoksen valossa25.4.2025 10:39:50 EEST | Tiedote
Mikä tekee yhteiskunnastamme mahdollisen? YTM Jukka Ruokanen selvitti väitöskirjassaan, millaiset tekijät tukevat sosiaalisuuden, yhteisöjen ja yhteiskunnan olemassaoloa saksalaisen politiisen filosofin ja oikeusoppineen Johannes Althusiuksen teoksessa Politica Methodice Digesta. Althusiuksen mukaan yhteiskunta ei synny vain ihmisten toiminnan tai luonnollisten syiden seurauksena – myös Jumalan toimet, kuten kymmenen käskyä, ovat olennaisia yhteiselomme aikaansaamiseksi.
Kansainvälinen konferenssi rakentaa tulevaisuudenuskoa ja selviytymiskykyä23.4.2025 11:00:47 EEST | Tiedote
Ympäristökysymysten lisäksi aikamme yhteiskunnat kamppailevat monimutkaisten sosiaalisten haasteiden kanssa. Lapset, nuoret ja heidän perheensä ovat usein ensimmäisiä, joita tämän hetken yhteiskunnalliset haasteet koettelevat.
Maankäyttö vaikuttaa boreaalisten järvien energialähteisiin17.4.2025 07:10:00 EEST | Tiedote
Järviekosysteemit vastaanottavat valuma-alueelta peräisin olevaa eloperäistä ainesta, joka päätyy mikrobien avustuksella ravintoverkkoon. Jyväskyläläinen tutkijaryhmä selvitti vedyn pysyvien isotooppien avulla maalta peräisin olevan eloperäisen energian määriä. Tutkimuksen mukaan pohjaeläinten ja niitä syövien kalojen maalta peräisin olevan energian määrä oli suurempaa kuin ulappa-alueen eläinplanktonin ja niitä syövien kalojen. Kaikkien kuluttajaryhmien maalta peräisin olevan energian määrä väheni tummista happamista metsäjärvistä kohti reheviä järviä, joiden valuma-alueella on paljon maataloutta.
Tuore väitöstutkimus selvittää, miten tragedia auttaa käsittelemään ilmastokriisiä17.4.2025 06:58:00 EEST | Tiedote
Tragediaa pidetään turhaan vanhentuneena ja jopa kuolleena teatterimuotona, vaikka sillä voisi olla paljon annettavaa ilmastonmuutoksen hahmottamisessa ja sen seurausten käsittelemisessä, toteaa YTM Henna Vainio, joka tutki filosofian väitöskirjassaan tragedian mahdollisuutta ja merkitystä erityisesti ilmastonmuutoksen aikakaudella.
Uusi jättivirus eristettiin Jyväskylässä ensimmäistä kertaa Suomessa16.4.2025 07:05:00 EEST | Tiedote
Jyväskylän yliopiston nanotiedekeskuksen tutkijat ovat ensimmäistä kertaa Suomessa eristäneet jättiviruksen, joka nimettiin Jyvaskylavirukseksi. Löytö osoittaa jättivirusten olevan luultua yleisempiä pohjoisilla alueilla sekä havainnollistaa, että on vielä paljon rakenteita, joiden alkuperää ja toimintoja ei ole kunnolla tutkittu.
Uutishuoneessa voit lukea tiedotteitamme ja muuta julkaisemaamme materiaalia. Löydät sieltä niin yhteyshenkilöidemme tiedot kuin vapaasti julkaistavissa olevia kuvia ja videoita. Uutishuoneessa voit nähdä myös sosiaalisen median sisältöjä. Kaikki tiedotepalvelussa julkaistu materiaali on vapaasti median käytettävissä.
Tutustu uutishuoneeseemme